有界數(shù)列是指序列中的所有項都被上下界所限制，即存在一個上界和一個下界，使得序列中的每一項都不超過上界且不小于下界。

要證明一個數(shù)列是有界的，可以通過使用上確界和下確界的定義來進行證明。具體地，通過分別找到數(shù)列中的上確界和下確界，若兩者存在，則可以證明該數(shù)列是有界的。上確界是所有上界中的最小上界，下確界是所有下界中的最大下界。證明可以通過數(shù)學嚴謹?shù)耐评韥磉M行。

有界數(shù)列，是數(shù)學領(lǐng)域的定理，是指任一項的絕對值都小于等于某一正數(shù)的數(shù)列。有界數(shù)列是指數(shù)列中的每一項均不超過一個固定的區(qū)間，其中分上界和下界。假設(shè)存在定值a，任意n有{An（n為下角標，下同）=B，稱數(shù)列{An}有下界B，如果同時存在A、B時的數(shù)列{An}的值在區(qū)間[A,B]內(nèi)，數(shù)列有界。

1、有界數(shù)列的定義：

若數(shù)列{Xn}滿足：對一切n 有Xn≤M 其中M是與n無關(guān)的常數(shù) 稱數(shù)列{Xn}上有界（有上界）并稱M是他的一個上界，對一切n 有Xn≥m 其中m是與n無關(guān)的常數(shù) 稱數(shù)列{Xn}下有界（有下界）并稱m是他的一個下界，一個數(shù)列{Xn}，若既有上界又有下界，則稱之為有界數(shù)列。顯然數(shù)列{Xn}有界的一個等價定義是：存在正實數(shù)X，使得數(shù)列的所有項都滿足|Xn|≤X，n=1,2,3，……。

2、有界數(shù)列的證明：

∵ 數(shù)列{Xn}是收斂的

∴ 設(shè)其極限為a

根據(jù)數(shù)列極限的定義，對于ε=1，存在正整數(shù)N

當n>N是不等式|Xn-a|N時，|Xn|=|(Xn-a)+a|

證畢。

3、有界數(shù)列示例：

（1）1，2，3，4

（2）{1/n}，n=1，2，3...

擴展資料：

1、有界數(shù)列的應(yīng)用:

數(shù)列有極限的必要條件：

數(shù)列單調(diào)增且有上界 或 數(shù)列單調(diào)減且有下界=>數(shù)列有極限。

2、函數(shù)的有界性：

函數(shù)的有界性定義：若存在兩個常數(shù)m和M，使函數(shù)y=f(x),x∈D 滿足m≤f(x)≤M,x∈D 。 則稱函數(shù)y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

3、函數(shù)有界性的要點：

（1）函數(shù)在某區(qū)間上不是有界就是無界，二者必屬其一；

（2）從幾何學的角度很容易判別一個函數(shù)是否有界．如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函數(shù)的圖形介于它們之間，那么函數(shù)一定是無界的。